Wilf-Classification of Mesh Patterns of Short Length

This B.Sc. project deals with mesh pattern avoidance in permutations. A mesh pattern is a pair p = (τ,R), where τ is a permutation in Sk and R ⊆ J0, kK × J0, kK. The elements of R denote lled boxes in a mesh pattern. For a permutation π to contain a mesh pattern, it has to contain the underlying classical pattern τ , and no points in π can be located in the shaded boxes. In this paper we begin the study of Wilf-classifying mesh patterns by classifying 776 out of the 1024 mesh patterns of length 2. Two mesh patterns p and q are said to be equivalent if for any permutation π, π avoids p if and only if π avoids q. The paper introduces a new operation that preserves pattern equivalence and provides rules determining which additional boxes in a mesh pattern p can be shaded. This is useful to lower the number of patterns one needs to look at in the process of Wilf-classifying patterns. We also have some observations on the only non-trivial interval pattern of length 3. Útdráttur. Í þessu B.Sc. verkefni vinnum við með mynstraforðun möskvamynstra í umröðunum. Möskvamynstur er par p = (τ,R) þar sem τ er umröðun í Sk og R ⊆ J0, kK × J0, kK. Stökin í R tákna skyggða ferninga í möskvamynstrinu. Umröðun π er sögð innihalda möskvamynstrið p ef hún inniheldur grunnmynstrið τ og engir punktar π eru inn í skyggðu ferningum mynstursins p. Í þessu verkefni hefjum við Wilfokkun möskvamynstra, þar með hafa 776 mynstur af 1024 verið Wilfokkuð. Tvö möskvamynstur p og q eru sögð vera jafngild ef fyrir sérhverja umröðun π gildir að π forðast p ef og aðeins ef π forðast q. Verkefnið kynnir nýja aðgerð sem varðveitir jafngildi mynstra og gefur reglur um hvaða ferninga í mynstri p má skyggja aukalega í möskvamynstri. Þessi aðgerð er hentug til að minnka fjölda þeirra mynstra sem þarf að skoða við Wilfokkun mynstra. Einnig höfum við skoðað eina bilamynstrið af lengd 3 sem er ekki augljóst, og setjum fram athugasemdir um það.